目前，郑州的供精试管医院有河南省人民医院、郑大一附院、郑大三附院等。其中，郑大三附院还获得了人类精子库的批准。这些医院在全国排名中表现良好，成功率在55%左右。对于供精试管的费用，一般而言，在郑州做一次供精试管的费用在3-8万元之间，具体因人而异。此外，郑州的医院支持供精试管婴儿，如郑州大学第一附属医院、河南省人民医院等。另外，郑州的医院还支持三代试管婴儿，解决了少弱精家庭的困扰。

关于供精试管的具体流程，不同医院可能会有所差异。一般来说，做一次供精试管需要经过夫妻双方的身体检查、签订知情同意书、等待精源匹配、胚胎移植和验孕等步骤。其中，胚胎移植是最关键的一步，需要选择合适的精源，确保成功率。

总的来说，郑州的供精试管医院表现良好，但具体哪家医院最好还需根据个人情况和需求来选择。